Aviso: Esse não é um texto que defende Terra plana.
O conhecimento científico ocidental, que começou lá com os filósofos gregos há 2600 anos atrás, é muito extenso e é fruto do trabalho árduo e incansável de pensadores e filósofos durante todo esse tempo.
Sabemos o suficiente pra mandar o homem pra Lua, robôs pra Marte, colocar satélites em órbita. Então essa pergunta sobre se a Terra tem movimento próprio parece simples e bobinha, mas as aparências enganam.
Os filósofos gregos sabiam, através de observação e cálculos matemáticos, que a Terra era esférica, mas não tinham certeza se era a Terra que tinha rotação ou o céu que girava em torno da Terra.
Se você tirar um dia só pra olhar pro céu e anotar as posições das coisas no céu, vai perceber esse movimento:
O céu vai se movimentar, e fazer um movimento de rotação. Os filósofos não tinham uma câmera pra fazer um vídeo então, eles tomavam notas da posição das coisas no céu e criavam um cenário no papel que se pareceria com o vídeo acima.
Quem se mexe nessa situação? Se você escolher a Terra, então você tem o problema do helicóptero. Vamos supor que o helicóptero voe pra cima, por que ele não permanece parado e espera a Terra se movimentar pra descer novamente em outra cidade?
Essa pergunta é popular entre pessoas que desconhecem a Física, e havia uma versão mais antiga dessa dúvida, porém era um pássaro no lugar do helicóptero. Antes de pensar em responder usando as Leis de Newton, lembre-se que Isaac Newton nasceu em 1637 d.C.
Quem resolveu esse problema foi Galileu Galilei, ele criou uma coisa chamada referencial inercial. Funciona assim, você está de frente para uma rua e passa um carro na sua frente. Em relação a calçada no chão, o carro se movimenta. Agora outra situação, você está no carro, e ele está se movimentando, mas você em relação ao chão do carro está parado.
É a mesma coisa que acontece com o nosso planeta, a Terra se mexe e você está em cima dela e se movimenta junto com ela.
Tem um detalhe, referencial inercial é um sistema de referência em que os corpos não tem seu movimento alterado. Por exemplo, você está no carro e ele freia, enquanto o carro está parando ele deixa de ser um referencial inercial.
Perceba que na situação do carro existe dois momentos, um onde ele está em movimento constante, na mesma velocidade, e outro instante em que ele está diminuindo essa velocidade. Quando ele está com a mesma velocidade, você pode considerar ele um referencial inercial, no momento que ele freia existe uma desaceleração, então para o que Galileu disse, não é mais válido esse referencial.
Se nosso planeta freiar, ou acelerar, a gente sentiria igual como acontece no carro. Mas teria que ser uma aceleração grande, porque a Terra gira a 1600 km/h no equador.(1)
Outra pergunta que Galileu e os filósofos da antiguidade fizeram: Por quê giramos junto com a Terra e como provar isso? Imagine que Galileu está num barco, ele pega duas bolas do mesmo tamanho mas com pesos diferentes, ou seja, uma bola de ferro e outra de plástico.
Ele solta as duas bolas ao mesmo tempo, e elas chegam juntas ao solo. O barco está se mexendo com velocidade constante, não está nem acelerando e nem desacelerando, mas a bola continua fazendo um movimento vertical para baixo.
Ninguém está empurrando a bola, mas ela cai, por quê?
Isaac Newton achou a solução, ele notou que um corpo qualquer só muda seu estado de movimento (velocidade constante ou repouso) se você aplicar uma força nele, ou seja, você tem que empurrar o objeto.(2)
Quando se aplica uma força num corpo, na realidade estamos dando a ele uma aceleração. Enquanto você está aplicando uma força essa aceleração existe, quando não existe mais força não tem mais aceleração, e o corpo ou pode continuar parado, se a força não for suficiente pra colocá-lo em movimento, ou em movimento uniforme, com velocidade constante se a força for suficiente. Na prática o corpo para porque existe algo no caminho que impede a continuação do movimento.
Newton percebeu que quando soltamos um objeto, ele entra em movimento e acelera até chegar ao chão.
Ele calculou essa aceleração, e viu que ela era constante para qualquer objeto, e chamou essa aceleração de gravidade. A gravidade é uma força porque ela causa aceleração.
Isaac Newton não disse o que era essa força, ou como ela surgia, ele só sabia que essa força causa o movimento dos corpos para baixo e na direção vertical, e também o movimento dos planetas(3) ao redor do Sol.
Nessa época, século XVI e XVII, era popular a ideia de que os planetas se movimentavam ao redor do Sol, mas a Igreja era contrária a isso e condenou Giordano Bruno a fogueira e Galileu Galilei à prisão domiciliar.
Sobre as perguntas: por quê os balões sobem? Porque um folha de papel demora mais pra chegar no chão do que uma bola?
O ar atmosférico é uma mistura de gases, e gás é matéria também. Quando a folha está caindo, é como se estivesse batendo em cada molécula de ar que encontra no caminho.
Nos balões a diferença de densidade do gás que está dentro e o que está fora causa essa subida. Conforme esse balão vai subindo ele tende a encontrar uma posição de equilíbrio(4) acima do que é mais denso do que ele. O balão nunca subiria até deixar o nosso planeta.
Se colocar a folha de papel, o balão(5) e uma bola de ferro numa câmara de vácuo (sem ar), eles cairiam com a mesma aceleração e chegariam ao chão juntos.(5)
No século XVII essa dúvida sobre a rotação da Terra foi resolvida pelas mentes brilhantes de Galileu Galilei e Isaac Newton.
Plus: Vídeo que explica de um jeito fácil a questão do helicóptero:
Culturalizando 
Um comentário em ““A Terra gira?” – A pergunta que incomodou os filósofos durante 2 mil anos.”